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「軽減税率のこと分かんない」っていう方向けにまとめました!図を使って分かりやすく説明していきます!

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中学受験レベルの問題を、高校数学の知識で解いたら計算が大変なことになりかけたw

やってみた

協力 趣味で理数の問題を解く。様

こんにちは(‘ω’)ノ

9月4日に、Twitterの「趣味で理数問題を解く。」さんがツイートしていた中学受験レベルの問題を、高校数学の知識を使って解いてみたという記事です。
なお、今回の記事は、文系の皆さんはついて来れないかもしれません。

問題と模範解答

問題と模範解答は、下に埋め込んでいるYouTubeをご覧になってください。

灰色部分の面積求めれますか??中学受験の生徒は必見です!

動画では三角定規の性質を応用して解いています。確かに、この考えなら小学生は解けるかもしれないですね。なお、中学受験とか言っときながら高校内容の問題が出るのはお約束です。(実際に、灘中学校では高校の数学Ⅱで勉強する部分分数分解が出ました)

僕はこうやって解いた

方針

左の図は、問題に書かれている条件を図の中に書き込んだものです。問題にはありませんが、説明のために、直線が交わる部分に、A~Lの12個の記号を入れました。

今回使ったテクニックは加法定理です。これを使った理由は、15°の角度を 60° – 45° で加法定理を使ったら sin15° と cos15° の値を求められるからです。半角の公式を使っても良かったのですが、ただでさえ計算が面倒なことをするのにもっと面倒なことになるので加法定理にしました。

今回は、下のようにして問題を解いていきました。

今回の解き方
  1. AE,AI,JEの長さを求める
  2. LIの長さ(AE – AL – IE)を求める
  3. LI × LI をして、面積を求める

下準備

AEとALの長さを求める前に、下準備として、sin15° と cos15° の値を求めました。

sin15° と cos15° の値を出すときに使う知識をまとめておきました。

辺の長さ

直角三角形の一番長い辺(斜辺)の長さを r 、角度を θ としたとき、

  • 赤い線(θがあるほう)の長さ = r × cosθ
  • 青い線(θが無いほう)の長さ = r × sinθ
加法定理(今回使う分だけ)
  • sin(\(\alpha\) – \(\beta\)) = sin\(\alpha\)cos\(\beta\) – cos\(\alpha\)sin\(\beta\)
  • cos(\(\alpha\) – \(\beta\)) = cos\(\alpha\)cos\(\beta\) + sin\(\alpha\)sin\(\beta\)
有名な角度の値(今回使う分だけ)
  • sin45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  • sin60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • cos45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  • cos60° = \(\frac{1}{2}\)

この記事では、計算を楽にするために、 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) は \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) と書きました。

sin15°
= sin(60° – 45°)
= sin60° × cos45° – cos60° × sin45°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
=\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

cos15°
= cos(60° – 45°)
= cos60° × cos45° + sin60° × sin45°
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\) = \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

よって、sin15° = \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) 、cos15° = \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

面積を出してイクッ!

左の図は、初期の段階です。説明する関係上、勝手にA~Lの記号を加えました。

これから色んなトコの長さを求めていくので、どんどん書き込んでいきます。字が汚くて申し訳ないのですが、DとCの間は、Fと書いています。

また、イラストのミスで、∠EAB = ∠FBC = ∠GCD = ∠HDA = 15° の情報が抜けていました。近日中に訂正しておきます。m(__)m

AE,JE,AIの長さを求める

AEの長さ

最初にAEの長さを求めました。△AEBにおいて、AEは斜辺(一番長い辺)で、ABの長さが4cmと分かっていて、∠A=15° であり、AB = AE × cos15° の位置にあるので、

AB = AE × cos15°
4 = AE × \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
AE = \(\frac{16}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)
AE = \(\frac{16(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\) ←分母の有理化
AE = \(4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\)
AE = \(4\sqrt{6}-4\sqrt{2}\)

よって、AE = \(4\sqrt{6}-4\sqrt{2}\) ということが分かりました。

途中経過

JEの長さを求める下準備

JEの長さを求める下準備として、BEの長さを求めます。三平方の定理を使って計算するのは一見簡単なように見えますが、数字だるいので加法定理を使って計算しちゃいます。

JEの長さを求めるのにBEの長さを使いたいので、BEの長さを求めます。

△ABEにおいて、

BE = AE × sin15°
= \((4\sqrt{6}-4\sqrt{2})\) × \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
= (\4(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)) × \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
= \(8-4\sqrt{3}\)

よって、BE = \(8-4\sqrt{3}\)

途中経過

JEの長さ

△BJEにおいて、BEが斜辺なので、

JE = BE × sin15°
= \(8-4\sqrt{3}\) × \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
= \(3\sqrt{6}-5\sqrt{2}\)

よって、JE = \(3\sqrt{6}-5\sqrt{2}\)

途中経過

AIの長さ

△AHOと△ABEは合同(辺の長さ、角度の大きさが全て等しい)なので、

AH = BE = \(8-4\sqrt{3}\)

AI = BI × cos15°
= \(8-4\sqrt{3}\) × \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
=\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)

よって、AI = \(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)

△AHOと△ABEが合同な理由
  • ∠AOH = ∠BAE = 15°
  • AO = AB = 4
  • ∠HAO = ∠EBA = 90°

よって、1組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しいので、△AHOと△ABEは合同(△AHO≡△ABE)

IJの長さを求める

IJ = AE – (AI + JE)
= \(4(\sqrt{6}-\sqrt{2}) – {(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + (3\sqrt{6}-5\sqrt{2})}\)
= \(4\sqrt{6} -\sqrt{6} -3\sqrt{3} – 4\sqrt{2} + \sqrt{2} + 5\sqrt{2}\)
= \(2\sqrt{2}\)

よって、IJ = \(2\sqrt{2}\)

途中経過

面積

求める面積は正方形なので、IJ × IJ で求められます。

よって、

面積
= \(2\sqrt{2}\) × \(2\sqrt{2}\)
= 8

ということで、求める面積は 8 でした。

結果!!!

最後に

数学には解き方ってものがたくさんあるわけでして、今回の解き方は高校数学の知識を使ってかなりの手間をかけたものになります。もっと良い解き方があると思っていますし、記事の最初のほうに貼り付けた動画の解き方も無数の解き方の一つであると思います。

今回の記事で伝えたいことは、「解決の手段が無数にある」ということです。ある程度の難易度の問題になれば、解決するってこと自体が容易なことではありません。しかし、良かれ悪かれ手段なんていうものはたくさんあります。思いつかなければネットで調べたり誰かに尋ねたりして上手くいくようにすれば良いんです。

教科書通りにやっていけば何とかなる時代は終わりです。これからは誰かと共同で何かを解決する時代になります。これから自分が社会人になるにあたって、「考える」ことを怠らないようにしたいと思います。

最後は少し真面目な話になりましたが、僕の今の本音をつぶやいて今回の記事を締めたいと思います。

「解析学のテスト詰みそうーーーー!!!!」

ってことでバイバイ(^.^)/~~~

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